直角三角形斜边中线定理的逆定理1

直角三角形斜边中线定理的逆定理1

如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且该边是斜边。

几何语言：在△ABC中，AD是中线，且BC=2AD,则∠BAC=90°。 延长AD到E，使DE=AD,连接BE,CE

∵BD=CD，AE=2AD=BC

∴四边形ABEC是矩形（∵对角线互相平分且相等）

∴∠BAC=90° ∵AD=BD=CD

∴A,B,C在以D为圆心，BD为半径的圆上

那么BC是直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角是直角。

∴∠BAC=90° 过D作DE⊥AB,垂足为E。

∵AD=BC/2=BD

∴E是AB中点（三线合一）

∴DE∥AC（三角形中位线定理）

∴AC⊥AB,即∠BAC=90° 向量证明

设向量AD=d，向量AB=c，向量AC=b，向量BC=a

∵AD是中线

∴b+c=2d

两边平方，去括号得

|b|²+2b·c+|c|²=4|d|²

又∵|a|=2|d|

∴|a|²=4|d|²=|b|²+2b·c+|c|²~~~①

而a=b-c

两边平方，去括号得

|a|²=|b|²-2b·c+|c|²~~~②

联立①和②解得b·c=0

∴b⊥c，即∠BAC=90° 解析几何证明

以D为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系。设B（-d，0），C（d，0），A（a，b），其中d>0且b≠0

∵|AD|=|CD|

∴d= ，即 =

=b/（a+d），=b/（a-d）

=b²/（a²-d²）=b²/（-b²）=-1

∴AB⊥AC,即∠BAC=90°

注意a≠d，若a=d则表示A和C的横坐标相同，即AC⊥x轴，这样就有了Rt∠ACB。而直角边BC边上的中线AD是不可能等于直角边BC的一半的。∴a≠d，AC斜率存在。