Simone11．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】若无穷数列满足：是正实数，当时，，则称是“Y﹣数列”．（Ⅰ）若是“Y﹣数列”且，写出的所有可能值；（Ⅱ）设是“Y﹣数列”，证明：是等差数列当且仅当单调递减；是等比数列当且仅当单调递增；（Ⅲ）若是“Y﹣数列”且是周期数列（即存在正整数T，使得对任意正整数n，都有），求集合的元素个数的所有可能值的个数．
的有关信息介绍如下：
11．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）1009.
【解析】
（Ⅰ）由题可知，则或2，
，
当时，，则或，
当时，，则或4，
，
当时，，则或，
当时，，则或2，
当时，，则或2，
当时，，则或8，
综上，的所有可能值为；
（Ⅱ），或，
当是等差数列时，假设，则，
此时，而，矛盾，
，于是公差，
单调递减，
当单调递减时，对任意，，
又，，
是等差数列；
当是等比数列时，，，
公比，又，单调递增，
当单调递增时，对任意，，
又，
，即，
，是等比数列,
综上，是等差数列当且仅当单调递减；是等比数列当且仅当单调递增；
（Ⅲ）先证是数列的最大项，
事实上，如果是第一个大于的项的脚标，则由知，是的倍数，
假设都是的倍数，
则由知，是的倍数，
所以由归纳法知，对任意，都是的倍数，但不是的倍数，这与是周期数列矛盾，
所以是数列的最大项，从而当时，，
再证明当是奇数时，是的奇数倍；当是偶数时，是的偶数倍，
事实上，当时结论成立，假设时成立，当时，由知，结论也成立，
所以，当，的值只能是奇数，所以集合的元素个数最多有1009个；
下证集合的元素个数可以是的所有整数，
事实上，对于，可取数列为：
即：所有的奇数项均等于，所有的偶数项均等于0，此时，数列为“Y﹣数列”，且，
对于任意整数，构造数列的前2018项如下：
，
由于数列是无穷数列，故可取，显然满足数列是“Y﹣数列”，
综上，集合的元素个数的所有可能值的个数是1009.
